#İzBırakanlar 005.2: Fermat’ın Son Teoremi ve Andrew Wiles

Matematik ve Matematik Mühendisliği Topluluğu

7 min readSep 25, 2021

Pierre de Fermat’ın on yedinci yüzyılda kanıtladığını yazdığı ancak bulgularını paylaşmadığı için yıllarca kanıtının arandığı Fermat’ın son teoremi olarak bilinen meşhur problem, 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından ispatlandı. Bu yazımızda üç yüz yıldan uzun bir süre boyunca matematikçileri peşinden koşturan ve matematik tarihinin en popüler problemlerinden biri olan teoremin hikayesini anlattık.

Andrew Wiles, 1994 yılında Fermat’ın son teoremini ispatlamıştır.

Fermat’ın son teoremini kavrayabilmek için problemin daha kolay bir versiyonu olan Pisagor teoremini düşünelim. Bilindiği üzere Pisagor teoremi dik açılı bir üçgende dik açıyı oluşturan iki kenarın karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. Örneğin x=3, y=4 ve z=5 teoremi sağlayan değerlerden biridir.

Pisagor teoremi, dik üçgenin kenarları arasında bir ilişki ortaya koyar.

x² + y² = z² denkleminin tam sayı çözümlerini bulmayı sağlayan bir formül 3600 yıl kadar önce Babilliler tarafından bulunmuştu. Bu formülün doğruluğunu ikinci ve dördüncü yüzyıl arasındaki bir dönemde yaşamış olan Yunan Matematikçi Diophantus ispatlamış ve ispata Arithmetica isimli kitabında yer vermişti.

Pisagor teoreminin daha genel bir versiyonunu ele alalım. Bilinmeyenlerin üslerinin ikiden büyük bir sayı olduğu durumları düşünelim.

koşulunu sağlayacak pozitif x, y ve z tam sayıları bulabilir miydik? Fermat benzer bir soruyu tahminen 1630 yılında Diophantus’un Arithmetica isimli kitabının kenarına not almış, bu şekilde bir çözümün bulunmasının imkansız olduğunu yazmış ve şu cümleyi eklemiştir:

“Bu teoremin bu kenara sığamayacak kadar uzun ve olağanüstü bir ispatını keşfettim.”

Fermat’ın Arithmetica’nın kenarına yazdığı not, çözümü yüzyıllarca sürecek bir problemi başlatmıştır.

Bu not Fermat’ın ölümünden sonra kaybolmamaları için babasının çalışmalarını toplayan oğlu tarafından bulunmuş ve matematikçiler arasında yüzyıllarca sürecek olan bir tartışmayı alevlendirmiştir. Wiles’ın ispatına kadar olan süreçte n’in bazı özel değerleri için Fermat’ın teoreminin doğruluğu ispatlanmıştır. Örneğin Fermat ölümünden önce n=4 için düşüncesinin doğru olduğunu kanıtlamıştı.

Wiles’ın ispatına kadar teoremle ilgili bazı önemli gelişmeler olmuştur:

Fermat, ölümünden önce n=4 için teoremin doğru olabileceğiyle ilgili bulgular elde etmiştir. On sekizinci yüzyılda Leonhard Euler, n=3 özel durumu üzerinde çalışmıştır. On dokuzuncu yüzyılda P.G. Lejeune Dirichlet n=5 ve n=14 için, Adrien Marie Legendre n=5 için ve Gabriel Lame n = 7 için teoremin doğru olduğuyla ilgili ispatlar bulmuşlardır.²
Alman matematikçi Ernst Kummer, 1843 yılında teoremin geneli için bir ispat bulmuştur ancak ispatın hatalı olduğu anlaşılmıştır. Yine de Kummer’in, n’in en küçük değeri için oluşturduğu ispatı doğru kabul edilmiştir.⁷

1970'lerde bilgisayarlar kullanılarak 2<n<125.000 için teoremin doğru olduğu hesaplanmıştır. 1993 yılında kontrol edilen sayı aralığı 4,000,000'e çıkmıştır.²
1983 yılında Gerd Faltings teoremin eğer çözümü varsa bu çözümlerin sonlu sayıda olmak zorunda olduğunu göstermiştir.⁷
Sophie Germain teorem üzerinde çalışmış önemli matematikçilerden biridir. Çalışmalarını problemin özel durumlarından çok genel haline odaklamış ilk matematikçilerden biridir.
1988 yılında Yoichi Miyaoka’nın teoremi ispatladığının düşünülmesi medyanın ilgisi çekmiş olsa da sonradan ispatın yanlış olduğu açıklanmıştır.

Peki asırlar boyunca çözülemeyen bu problemi matematikçiler için bu kadar çekici kılan şey ne olmuştur? Teoremi ispatlayan matematikçi Andrew Wiles’a göre problemin çok basit ve anlaşılır gözükmesine karşın ispatının bu kadar zor olması. Çocukluğundan itibaren matematiği seven Wiles, hayatının problemini on yaşında kütüphanede kitapları karıştırırken bulduğunu ve Fermat’ın son teoremi olarak anılan bu problemin on yaşındaki o çocuk için vazgeçilemez olduğunu söylemiştir. On yaşındaki bir çocuğun bile kavrayabileceği bu basit problem nasıl üç yüz yıl boyunca hiçbir matematikçi tarafından çözülememiştir?

11 Nisan 1953’te Cambridge, İngiltere’de doğan Andrew Wiles, lisans eğitimini 1974’de Merton Üniversitesinde, doktorasını ise 1980 yılında Clare Üniversitesinde bitirmiştir. Doktoraya başlayana kadar 17. yüzyılda bilinen matematiksel yöntemlerle bir kanıta ulaşmaya çalışmış ancak herhangi bir sonuç elde edememiştir. Bu sebeple Fermat’ın son teoremi üzerindeki çalışmalarına ara vermiştir. Princeton Üniversitesi, Hautes Études Scientifiques Enstitüsü, École Normale Supérieure, Oxford Üniversitesi, Royal Society gibi önemli kurumlarda yer alan Andrew Wiles, aslında doktorası için Fermat’ın son teoremi üzerine çalışmamış ve bunun nedenini şu sözlerle açıklamıştır:

“… the problem with working on Fermat is that you could spend years getting nothing so when I went to Cambridge my advisor John Coates was working on Iwasawa theory of elliptic curves and I started working with him…” ³
“... Fermat’ın son teoremi üzerine çalışmakla ilgili sorun, yıllarınızı harcasanız da hiçbir şey elde edemeyebilecek olmanızdır. Cambridge’e gittiğimde danışmanım John Coates, Iwasawa eliptik eğriler teorisi üzerinde çalışıyordu, bu sebeple onunla çalışmaya başladım…”

Yutaka Taniyama (solda), Goro Shimura (sağda)

Kanıta götüren çalışma 1954'te, genç Japon matematikçi Yutaka Taniyama’nın eliptik eğriler adı verilen matematiksel nesneler hakkında bir varsayımda bulunmasıyla başladı. Bu varsayım, birkaç yıl sonra Princeton Üniversitesi’nden Dr. Goro Shimura tarafından düzeltildi. Varsayım literatüre Taniyama-Shimura hipotezi olarak geçti.

Onlarca yıldır matematikçilerin bu teoremin Fermat’ın son teoremi ile herhangi bir ilişkisi olduğu hakkında hiçbir fikri yoktu. 80'lerin ortalarında, Almanya’daki Saarland Üniversitesi’nden Dr. Gerhard Frey, Taniyama-Shimura hipotezi ile Fermat’ın son teoremi arasında çok tuhaf, çok basit bir bağlantı buldu. 1987'de Dr. Ribet bu bağlantının var olduğunu kanıtladı.

Andrew Wiles’ın yaptığı ispat, bu bağlantıyı temel alır. Dr. Wiles, Taniyama-Shimura hipotezi’nin bir biçiminin doğru olduğunu ispatlamış ve bu doğruluğun Fermat’ın son teoreminin de doğru olmasını gerektiğini göstermiştir. Dr. Wiles’ın ispatının arkasındaki genel fikir, donut yüzeyine benzeyen matematiksel bir nesne olan eliptik bir eğriyi son teoremin bir denklemi ile ilişkilendirmekti. Teorem yanlış olsaydı ve Fermat’ın denklemlerinin gerçekten çözümleri olsaydı tuhaf bir eğri ortaya çıkardı. Kanıt, böyle bir eğrinin var olamayacağını göstermeye dayanıyordu.

Andrew Wiles (solda), Richard Taylor (sağda)

Görünüşte basit olan bir problemin kanıtı için böylesine sofistike ve oldukça özelleşmiş matematik gerektirmesi hakkında Dr. Ribet, matematikçilerin oldukça azının Dr. Wiles’ın çalışmalarını anlayabildiğini düşünüyor. Kullanılan matematiğin çok teknik olduğunu, modüler formlar ve cebirsel geometri hakkında çok şey bilinmesi gerektiğini ve konunun çok yakından takip edilmiş olması gerektiğini söylüyor.

1993 yılında Andrew Wiles ispatın ilk halini tamamladı. Ancak bir süre sonra ispatın önemli bir noktasındaki ince bir detayın hatalı olduğu anlaşıldı. Hatanın tespit edilmesinin ardından Richard Taylor ile birlikte hata üzerinde çalışmaya başlayan Wiles bir senelik bir çalışmanın sonunda ispatın son ve doğru halini yayınladı.

“The problem with working on Fermat was that you could spend years getting nowhere. It’s fine to work on any problem, so long as it generates interesting mathematics along the way — even if you don’t solve it at the end of the day. The definition of a good mathematical problem is the mathematics it generates rather than the problem itself.” ¹
“Fermat’ın son teoremi üzerinde çalışmanın sorunu hiçbir şeye ulaşamadan yıllarınızı harcayabilmenizdi. Günün sonunda çözememiş olsanız bile, yol boyunca ilgi çekici bir matematik ürettiği sürece herhangi bir problem üzerinde çalışmakta sorun yoktur. İyi bir matematik probleminin tanımı, problemin kendisinden ziyade ürettiği matematiktir.”

Andrew Wiles (solda), Pierre de Fermat (sağda)

Bazı matematikçiler Wiles’ın çözümü hakkında birkaç söylemde bulunmuşlardır. Boston Üniversitesi matematik bölümünden Glenn H. Stevens, Fermat’ın son teoremi için matematiğin diğer alanlarıyla bağdaştırılmasının zor ama oldukça etkili bir ilerleme olduğunu söylemiştir. Byrn Mawr Üniversitesi’nden Helen G. Grundman ise kanıta son halini veren kişinin Wiles olduğunu vurgulamış, ilk kanıtta hata olsa da ortağı Richard Taylor ile sorunu düzelttikten sonra matematikçilerin kanıtın son halinden memnun olduklarını söylemiştir.

Peki Andrew Wiles’ın bulduğu kanıt, Fermat’ın bulduğunu iddia ettiği kanıt mıdır? Wiles bir röportajında ispatında kullandığı metodların Fermat’ın yaşadığı dönemde bilinmeyen metodlar olduğunu, bu sebeple kendisinin ispatının Fermat’ınkiyle aynı olmasının imkanı olmadığını söylemiştir. Yani Fermat’ın zamanındaki bilgilerle bu probleme bir kanıt bulunup bulunamayacağı tartışmaya açık ve eğer gerçekten Fermat’ın bir çözümü olmuşsa da bu çözüm hala bir yerde keşfedilmeyi bekliyor.

Yorumlarınızı sosyal medya hesaplarımızdan bizlerle paylaşmayı unutmayın!

Instagram: @mekupte

LinkedIn: @MEKUPTE

Twitter: @mekupte

Yazımıza atıfta bulunmak için aşağıdaki gibi APA formatını kullanabilirsiniz:

MMMT. (2021, Eylül 25). #İzBırakanlar 005.2: Fermat’ın Son Teoremi ve Andrew Wiles. -erişim tarihi- tarihinde, https://mmmt-digital.medium.com/i%CC%87zb%C4%B1rakanlar-00x-fermat%C4%B1n-son-teoremi-ve-andrew-wiles-789d93ba6b5e adresinden erişildi.